什么是数学的原理?

不同时期、不同地区的数学家对于数学原理的看法不尽相同,以下是我所知道的,供题主和各位网友参考:

早在苏美尔和古埃及时期,人们就学会了算术,后来又因为农作、建筑、历法等的需要 出现了 几何。算术是基础,几何建立在算术之上。直到古希腊前期,大家普遍认为,数学就是对自然数(不包括0)的运用。毕达哥拉斯的 《比例论》,将 万物皆数 推向极致。但,很快 西帕索斯 就发现了 √2 这个不可公度量,史称第一次数学危机。后来欧多克斯用 几何量 代替自然数,修复了 《比例论》,但这导致几何代替算术成为了数学基础,古希腊数学家也将注意力转向了几何,他们最终的研究成果被 欧几里得 整理在 《几何原本》中。

同样是古希腊,因哲学的需要,亚里士多德《形而上学》引入了 形式逻辑。当然这时 逻辑 和 数学 还没直接关系。

同一时期的中国数学家,同样也对数学进行了 大量研究,成果记录在 《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》等 著作中。和古希腊数学追求 理论证明 不同 中国数学 讲究的是 计算应用,即,数学的本质就是 计算。

随着时间的推移,中国数学 阴阳(正负) 的思想 传到了 古印度,古印度数学家又加入了 空(零)的概念,从而发明了现在的 阿拉伯数字,并将数字扩充到整个实数。

阿拉伯人,花剌子模 结合古希腊和古印度算术,引入未知数,创立的 代数,并确立了代数的研究对象之一 方程。

时间到了文艺复兴时期。阿拉伯数学的传入欧洲,激活了欧洲人研究数学热情。笛卡尔利用 坐标系 第一次将代数和几何关联起来,建立的解析几何,开启了数学的分析时代。牛顿和莱布尼兹 各自在 解析几何 之上 通过 无穷小量 建立的微积分。但,无穷小量 有时候是 零,有时候不是 零,这遭到了当时数学家的质疑,这就是第二次数学危机。柯西等人创造了 极限 的概念,弥补了 无穷小量 的缺陷, 第二次数学危机完美度过。

同时,莱布尼兹还在亚里士多德的基础上提出创造逻辑语言,以代替自然语言,解决自然语言表述不准确的缺陷。

时间进入18世纪,数学开始大爆发。

数学家发现了欧几里得空间,从而 数学 从研究 一个个具体的点、函数,转而研究 所有点、函数 组成的 空间。后来随着 空间的 研究 出现了 拓扑。

与数学在分析方向的 迅猛发展不同,无理数还没有完全解决,代数又在解一元高次方程上遇到了困难:数学家发现 5 次方程 就是找不到 求根公式。天才数学家 伽罗瓦 敏锐的发现:求根公式是由 常数 和 运算 组成的,因此要研究清楚解方程问题,必须将 它们一切研究,于是开创了对 代数系统 的研究方向,从而最终完美的解决了该问题。

代数的另一方向上,康托尔 创立了 集合论 并结合 皮亚诺的 算术公理,将 数字 用 集合表示,同时 戴德金 利用 分割的 方法,从 有理数集 构成除了 实数集(包括无理数),完美的解决了 第一次数学危机。他们的共同努力,使得 集合 代替 数字 和 几何量 成为了 数学基础。这一切都看似很完美,但还是出了问题:集合论 可以通过概念的外延 和 内涵 两个手段定义 集合,罗素发现 用 内涵定义的 集合 有悖论,“理发师声称只给那些不自己刮胡子的人刮胡子,那么,理发师 给自己刮胡子吗?”,史称第三次数学危机。后经数学家研究,发现 不能直接引入 内涵 作为公理,而是要用一组公理代替它,这就是 数学 公理化 的开始。碰巧的是,经过二个世纪的努力,莱布尼兹的逻辑语言,终于被哲学家们创造出来了,逻辑语言马上就 和 公理化 相结合,这时的 逻辑 成为了 数学的基础。不过,早在一个世纪前,布尔 就发明了 用 布尔代数 来描述 逻辑,后来被发展为 格论,所有说:格论 和 形式逻辑 互为基础。但有格论有一个缺陷是: 无法定义 模态逻辑 的 模态词。

随着 公理化 的进程,大家发现 为了证明新的定理 有时候要 不断增加新公理,那么,有没有一套固定不变的公理,可以推导 出所有 算术定理呢?哥德尔给出了否则的答案:一个算术系统的公理集合,在 没有悖论 和 可以推导出所有算术定理 之间只能二选一。

在几何方面。高斯在解析几何的基础上,结合微积分 创立的 古典微分几何。之后黎曼在其老师高斯的 曲面论 基础上 结合 拓扑学,将 用一个坐标可表示的 欧氏空间,扩展为 用多个坐标同时来表示的 流形,从而开启了 现代微分几何的大门。另一方面,彭加莱 在 拓扑空间 中 找到了:基本群 和 同调群,两个代数结构,开启了 代数几何 的研究之路。

时间进入了20世纪。罗素的 《数学原理》的出版,将“逻辑和集和 是数学基础”,这一观点夯实。不管是 空间 还是 代数系统,在 布尔巴基 学派 看来都是 结构,《数学原本》将 “数学是对 结构 的研究” 这一观点 发展到极致。但,彭加莱 却认为 数学 是 自由直觉,是人的本能。

数学是计算 这个来自中国数学的看法,一种在默默发展,中国人先后发明了 算筹 和 算盘,帕斯卡 也 研制出了 滚轮式加法器。丘奇在 递归论 的基础上 发明了 λ-演算 开启了 计算证明 之路,而其 学生 图灵 发明了 图灵机 它比 λ-演算 更简单,但却是等价的。 证明就是计算,如果 图灵机 可以停机,就意味着,所有的证明 都可以在有限时空内 得证,这就是 停机问题。后来 冯诺依曼 在 图灵机的 基础上建立的 冯诺依曼体系结构 从而 计算机 诞生。计算机 就是 数学是计算 这一思想 的 佐证 和 最终 产物。

还有一种数学思想,一直被人忽略,那就是出身 赌博的 概率,由于一直找不到研究手段,而发展缓慢,后来结合微积分算术有了长足进步,但根基不牢靠,直到 柯尔莫果洛夫 将 用于 补足 黎曼积分 的 测度论 引入,概率论才真正 长大。 之后,大家发现 社会科学、经济学、AI 中的 事情 往往 符合 统计规律 ,于是 统计学 得到了 长足 发展 和 应用。概率的思想,甚至将微积分推向一个新领域 随机微积分。

随着 数学结构的研究,数学家发现 很多 结构 和 它们 之间 的映射 都是 相似,于是又将它们放在一起 称为 范畴 进行研究。随着 对 范畴 的研究,发现 它其实是一种 基于图的形式语言,并且发现 格论不能 定义 模态词 的问题 可以用 范畴中的 伴随 来解决。于是 大家 就在设想 是否 范畴 可 代替 集合与逻辑 成为 数学的基础,这件事目前还在研究中…

格罗滕迪克作为范畴的发明人之一,将其用于 代数几何,创造了概形,并将代数几何推向了数学的巅峰。(这部分我目前还看不太懂,所有只能说这些了)。

李发现实数即是 空间 又是 代数系统,于是将 空间的推广—流形 和 代数系统—群 结合一起研究 这就是 李群。

对基本群的进一步研究,出现了 群表示论 和 复叠空间,对 同调群的 研究,出现了 同调论 和 交换代数。

最后,还记得那个 最古老的算术 吗?克罗内克名言:“上帝创造了自然数,而剩下的一切都是人创造的。”,数学家一直没有放弃对它的研究,并发展出了 数论,在这方面 数学 的 本质 就是 素数。

历史上,很多数学家都写过 类似 《…原理》、《…原本》 这样的书,数学太过复杂了,目前还没有大统一的理论。

数学还在前行,还会有新的思想,新的原理 …

(本人数学水平有限,出错难免,欢迎题主和各位老师批评指正!)

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